Esculpiendo el tiempo

Mientras diseñaba una sección orquestal, busqué un efecto muy concreto: una "aceleración estructural" en la que la percepción del tiempo se comprime de manera progresiva.

El planteo inicial era simple. Un minuto de música (60 segundos) dividido en varias subsecciones: la primera debía durar exactamente 12 segundos y la última, 3. La pregunta: ¿cómo calcular las duraciones intermedias para que la evolución fuera gradual, orgánica y, sobre todo, sumara el minuto exacto?

Un decaimiento de ese tipo —similar a una curva geométrica o exponencial— llevó el problema del terreno de la composición al del álgebra.

El planteamiento del problema

En música podemos definir duraciones arbitrarias y ajustarlas a oído. Pero cuando la estructura debe transmitir la inevitabilidad de un proceso físico (una caída, una fricción), conviene modelarla con precisión.

El decaimiento sugería una progresión geométrica, con tres variables conocidas:

• Duración total ($S_n$): 60 segundos.
• Primera subsección ($a_1$): 12 segundos.
• Última subsección ($a_n$): 3 segundos.

Si se fija de antemano el número total de secciones ($n$), la razón de cambio ($r$) sale de la relación entre los extremos:

$$r = \sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}$$

El inconveniente de este enfoque es que, al generar las duraciones multiplicando sucesivamente por $r$, la suma total rara vez da exactamente 60 segundos: exige una normalización a posteriori para encajar en el minuto. Buscaba una formulación más directa.

Invertir el problema: dejar que la matemática decida

Una pregunta cambió el enfoque: ¿qué pasa si no fijo el número de secciones ($n$) y lo trato como una incógnita más?

El problema se convierte entonces en un sistema donde tanto la razón ($r$) como la cantidad de pasos ($n$) deben ajustarse a los tres límites fijos: 12 s, 3 s y 60 s.

La suma de una serie geométrica puede escribirse en función del primer y el último término, $S_n = \frac{a_1 - r\,a_n}{1 - r}$. De ahí se despeja la razón sin necesidad de conocer $n$:

$$r = \frac{S_n - a_1}{S_n - a_n}$$

Con mis valores (60, 12 y 3), la razón resulta $r = \frac{48}{57} \approx 0.8421$: cada subsección dura el 84.21 % de la anterior.

Conocida la razón, $n$ se obtiene despejando con logaritmos:

$$n = 1 + \frac{\ln(a_n / a_1)}{\ln(r)}$$

El resultado: 9.067. Es decir, la curva geométrica que une 12 con 3 segundos y suma un minuto exacto requiere, en la práctica, 9 secciones. El número de eventos no lo decidí yo: lo determinaron los límites temporales de la obra.

La tabla de tiempos resultante

Como $n$ debe ser entero, redondeé a 9 secciones y recalculé la razón para los extremos fijos: $r = (3/12)^{1/8} \approx 0.8409$. Las duraciones resultantes:

1. 12.00 s (inicio)
2. 10.09 s
3. 8.48 s
4. 7.14 s
5. 6.00 s
6. 5.04 s
7. 4.24 s
8. 3.57 s
9. 3.00 s (final)

La suma da 59.57 segundos; los 0.43 restantes del redondeo se absorben en el ajuste fino de la partitura. Nótese, de paso, que la sección central dura exactamente 6 segundos —la media geométrica de 12 y 3—, una simetría propia de este tipo de progresión.

Conclusión de esta primera etapa

Lo que comenzó como una duda sobre duraciones terminó en un procedimiento compositivo: al dejar que los límites temporales determinaran la cantidad de eventos, la forma adquirió una proporción interna consistente, sin decisiones arbitrarias en el medio.

Este es solo el esqueleto temporal. El paso siguiente fue trasladar la misma lógica de expansión geométrica a la orquestación: cómo pasar de un solo instrumento a una masa de 20 músicos siguiendo la misma curva, y cómo expandir con ella el registro y el ruido. Eso queda para la próxima entrada.